Multivejs kemometriske modeller kan bruges til unikt at resolvere multi-eksponentielle relaxationsprofiler i underliggende rene eksponentielle profiler. Metoden benytter sig af redundant information, og tricket hedder: slicing igen-igen.
Artiklen har været bragt i Dansk Kemi nr. 1/2, 2013 og kan læses uden illustrationer, strukturer og ligninger herunder. Se relaterede artikler nederst på siden.
Af Søren Balling Engelsen, Rasmus Bro, Institut for Fødevarevidenskab, Københavns Universitet og Lars Nørgaard, FOSS
Multieksponentiel analyse er et klassisk analytisk problem. Overlappende eksponentielle fænomener er almindeligt forekommende indenfor forskellige videnskabelige discipliner såsom dynamiske biokemiske reaktioner og relaxometriske målinger. Der er derfor fokus på robuste og effektive løsninger på dette ikke-lineære problem. I denne foreløbig sidste klumme omhandlende multivejskemometri vil vi vise, at multivejskemometri, blandt mange andre anvendelser, også kan bidrage med en effektiv alternativ løsning til resolvering af det multieksponentielle problem. Der er ikke tale om en klassisk kemometrisk anvendelse, hvor signaler fra flere prøver behandles samtidig, men om en højst overraskende anvendelse til signalbehandling af en enkelt multieksponentiel profil.
Tricket er en opgradering af den multieksponentielle profil til en datakube ved brug af en operation, som hedder dobbelt-slicing, deraf navnet på algoritmen: DOUBLESLICING [1]. Ideen bag DOUBLESLICING er at slice den eksponentielle profil to gange og derved generere en trevejs datakube, som kan analyseres ved brug af multivejs kemometriske modeller. Slicing-ideen blev præsenteret af Windig og Antalek på KODAK-laboratorierne [2]. Figur 1 viser princippet bag DOUBLESLICING. Ved den første slicing-operation (translation langs tidsaksen) skabes et antal pseudoprofiler, som alle har de samme underliggende eksponential profiler, men forskudt i tid. Det er altså samme profil, der gentages, men forskudt. Den ene profil bliver derved til en matrix af profiler, som hver repræsenterer forskudte tidsafsnit. Ved den anden slicing-operation gentages processen langs kolonneretningen, og dette resulterer i en trevejs datastruktur. Denne preprocessering kan synes som en unødvendig kompliceret proces med stærkt redundant information, men den har til formål at skabe en trevejs datastruktur fra en enkelt multieksponentiel profil. Man kan vise, at denne trevejsstruktur vil følge en PARAFAC-model, og man kan derved benytte den til at løse det diskrete multieksponentielle problem. Fordelene ved at benytte multivejskemometri er, at løsningen, givet ved PARAFAC i modsætning til multieksponentiel kurvefitning, bliver unik og lynhurtig under forudsætning af, at der er tale om et lavrangs (få komponenter) multieksponentielt system.
Vi vil i denne klumme demonstrere algoritmen til brug for multieksponentielle profiler målt med et benchtop kernemagnetisk resonans (NMR) instrument også kaldet NMR-relaxometri. Denne type målinger er udbredt indenfor fødevareforskningen, hvor de bl.a. bruges til at bestemme ”solid fat” i spiseolier, hvor profilen deles op i en hurtigt relaxerende del (fast fedt) og en langsomt relaxerende del (flydende fedt).
For at kunne illustrere den nye algoritmes effektivitet har vi designet et prøvesæt, som eliminerer vekselvirkninger mellem de forskellige eksponentielle komponenter. NMR er baseret på diamagnetisme, men det er velkendt, at tilstedeværelse af paramagnetiske kerner vil quenche NMR-signalerne. Tilsætning af forskellige koncentrationer af CuSO4 til vand kan således designes til en given tilsyneladende T2-relaxation. Vi har til formålet lavet fire moderopløsninger med forskellige CuSO4-koncentrationer på hhv. 55, 26, 13, og 6.5 mM. Det svarer til tilsyneladende transverse T2-relaxationstider på 20, 40, 80 og 160 ms. Mono-eksponentiel kurvefitning af de målte relaxationsprofiler for de fire moderopløsninger resulterede i følgende T2-værdier: 19.6, 40.6, 81.4, and 159.4 ms.
Vha. de fire moderopløsninger har vi konstrueret et 4-komponent (D-optimal) design med syv koncentrationsniveauer. Designet på i alt 30 prøver blev etableret ved at placere syv små NMR-rør (5mm) fyldt med de fire moderopløsninger indeni i et 18mm NMR-rør (figur 2). Koncentrationsværdier, som svarer til antallet af de små rør med en given moderopløsning (værdier fra 1 til 7), er vist i figur 2. Hver enhed svarer til en syvendedel af det totale NMR-volumen. Skemaet (figur2) angiver, hvor mange af hver af de fire moderopløsninger, der er til stede ved en given måling (i prøve nummer 1 er alle de små NMR-rør fyldt med moderopløsning 4). Ved at bruge dette eksperimentelle design er det muligt at kontrollere det eksakte bidrag fra hver af relaxationskomponenterne til det totale NMR-signal samtidig med, at vi kan undgå vekselvirkninger, som typisk forekommer, når koncentrationerne varieres. Man skal dog være opmærksom på, at opdeling af NMR-røret i mindre rum kan føre til artifakter, som stammer fra mellemrummene mellem de små NMR-rør (NMR susceptibility). Desuden kan der opstå mindre artifakter, pga. at forskellige dele af den samme prøve kan opleve en smule anderledes magnetisk felt.
For hver af de 30 prøver måltes det transverse relaxationssignal af vandkomponenten vha. en CPMG (Carr-Purcell-Meiboom-Gill) pulssekvens (figur 3). Dette unikke datasæt er tilgængeligt i MATLAB-format fra http://www.models.life.ku.dk sammen med MATLAB-koden til DOUBLESLICING.
De resulterede 30 NMR-relaxationsprofiler er vist i figur 3, hvor de er farvet efter deres indhold af den hurtigt relaxerende komponent (20 ms). Figur 5 viser dispersionen af de ekstraherede T2-værdier ved applikation af DOUBLESLING. Algoritmen (se skitse i figur 4) har ingen problemer med at ekstrahere de fire underliggende rene eksponentielle komponenter fra disse relativt komplekse NMR-henfaldskurver.
Vi har gennemført en række test af DOUBLESLICING, og den viser sig i det store hele at give nogenlunde de samme resultater som en effektiv klassisk kurvefitningsalgoritme. På to afgørende punkter er der imidlertid en forskel.
For et første er DOUBLESLICING ikke-iterativ, da den har en analytisk løsning og er for disse data minimum en faktor fire hurtigere i beregningstid. Den hurtigere beregningstid giver DOUBLESLICING et stort potentiale indenfor applikationer, hvor mange oligo-eksponentialfunktioner skal analyseres eller i andre tilfælde, hvor omfattende resampling er nødvendig for et sikkert analyseresultat. Den lynhurtige DOUBLESLICING kan også benyttes som et superkvalificeret begyndelsesgæt for en traditionel numerisk kurvefitningsalgoritme, og indenfor Magnetic Resonance Imaging (MRI) kan DOUBLESLICING finde anvendelse som matematisk kontrast af MRI-billeder [3].
For det andet giver brugen af multivejskemometri til analyse af multieksponentielle kurver nogle gode diagnostiske redskaber. Et af hovedproblemerne ved anvendelse af traditionel kurvefitning er at estimere antallet af komponenter. Dette foretages som regel ved at undersøge RMSE (root mean square error) for kurvefittet som en funktion af antallet af komponenter. Men ofte er det subtile forskelle, der afgør, om man skal bruge to eller tre komponenter på trods af, at de resulterende modeller kan være væsenligt forskellige. Ved brug af DOUBLESLICING kan man anvende diverse diagnostiske redskaber som f.eks. den såkaldte core consistency (figur 6), der samlet kan give et bedre fingerpeg om, hvor mange komponenter der er passende [4]. Normalt ses kun to- eller trekomponent-løsninger indenfor NMR-relaxometry, men som figur 6 antyder, er dette formentlig et firekomponent-system.
Brugen af DOUBLESLICING til multieksponentiel analyse giver således en væsentlig bedre diagnosticering med hensyn til det vigtige valg af antallet af komponenter.
Outro
Multivejskemometri kan på overraskende vis bidrage med en ny vinkel på multi-eksponentiel analyse. DOUBLESLICING har vist sig at være tilstrækkeligt nøjagtig til at estimere relaxationstider (T2-værdier) og deres relaterede koncentrationer. Hovedfordelen ved DOUBLESLICING er imidlertid dens meget kortere beregningstider sammenlignet med de traditionelle kurvefitningsalgoritmer, samt de forbedrede muligheder for det kritiske valg af antal af eksponentialkomponenter i en given profil.
Referencer
1. L. Andrade, E. Micklander, I.A. Farhat, R. Bro & S.B. Engelsen, DoubleSlicing: a non-iterative single profile multi-exponential curve resolution procedure. Application to time-domain NMR transverse relaxation data, Journal of Magnetic Resonance (2007), 189(2), 286-292.
2. W. Windig and B. Antalek, Direct exponential curve resolution algorithm (DECRA): A novel application of the generalized rank annihilation method for a single spectral mixture data set with exponentially decaying contribution profiles, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems (1997) 37, 241-254
3. H.F. Seefeldt, F. van den Berg, W. Köckenberger, S.B. Engelsen and B. Wollenweber, Water mobility in the endosperm of high beta-glucan barley mutants as studied by Nuclear Magnetic Resonance Imaging, Magnetic Resonance Imaging (2007), 25(3), 425-432.
4. R. Bro and H.A.L. Kiers, A new efficient method for determining the number of components in PARAFAC models, Journal of Chemometrics, 17(5), 274-286.
Figur 1. Princippet bag DOUBLESLICING. Det transverse NMR-signal optaget som funktion af tiden er en éndimensional datastruktur (en vektor), som indeholder en sum af N eksponentielle henfald svarende til N forskellige vandpopulationer. Kurven inddeles i et antal (to er vist) af stærkt overlappende segmenter (X-slices) ved at fjerne det samme antal af de første eller sidste punkter. De to segmenter placeres i en matrix (tovejs datastruktur), hvorefter proceduren gentages for at danne Z-slices, som kan stables efter hinanden for at danne en trevejs datastruktur. Disse data kan herefter dekomponeres vha. PARAFAC.
Figur 2. Det eksperimentelle design. Koncentrationen af de 30 prøver er i enhederne 1–7, hvor hver enhed repræsenterer en syvendedel af prøvevolumet. Prøverne er mærket iht. deres koncentration.
Figur 3. De 30 relaxationsprofiler farvet efter deres indhold af den hurtigst relaxerende komponent (20 ms).
Figur 4. PARAFAC- modellen som den benyttes i DOUBLESLICING. Den dobbelt-slicede relaxationskurve resolveres til rene mono-eksponentielle komponenter og deres tilsvarende koncentrationer.
Figur 5. Dispersion af T2-værdier fundet ved brug af DOUBLESLICING. Vi ser, at der for de 30 prøver er en overordentlig fin opløsning af de fire underliggende T2-komponenter ved hhv. 20, 40, 80 og 160 ms.
Figur 6. Eksempel på evaluering af PARAFAC core-consistency for en firekomponents-blanding. Værdier tæt på eller under nul, antyder, at for mange komponenter er brugt. Eksemplet viser, at en firekomponents PARAFAC-model beskriver data godt.
